Rezolvați {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-2x=4$$

Adunați 2x la ambele părți ale ecuației.

$$y=2x+4$$

Înlocuiți y cu 4+2x în cealaltă ecuație, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Înmulțiți 3 cu 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Adunați 6x cu 2x.

$$8x+12=28$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$8x=16$$

Se împart ambele părți la 8.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în y=2x+4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=2\times 2+4$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=4+4$$

Adunați 4 cu 4.

$$y=8$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=8,x=2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=8,x=2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Pentru a egala y și 3y, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Simplificați.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Scădeți pe 3y+2x=28 din 3y-6x=12 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Adunați 3y cu -3y. Termenii 3y și -3y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-6x-2x=12-28$$

Adunați -6x cu -2x.

$$-8x=12-28$$

Adunați 12 cu -28.

$$-8x=-16$$

Se împart ambele părți la -8.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în 3y+2x=28. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$3y+2\times 2=28$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$3y+4=28$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$3y=24$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=8$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=8,x=2$$