Rezolvați {l}{y=-2x+2}{y=4x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=1$$

$$y=0$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 2x la ambele părți.

$$y+2x=2$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 4x din ambele părți.

$$y-4x=-4$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y+2x=2$$

Scădeți 2x din ambele părți ale ecuației.

$$y=-2x+2$$

Înlocuiți y cu -2x+2 în cealaltă ecuație, y-4x=-4.

$$-2x+2-4x=-4$$

Adunați -2x cu -4x.

$$-6x+2=-4$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$-6x=-6$$

Se împart ambele părți la -6.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y=-2x+2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=-2+2$$

Adunați 2 cu -2.

$$y=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=0,x=1$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 2x la ambele părți.

$$y+2x=2$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 4x din ambele părți.

$$y-4x=-4$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=0,x=1$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 2x la ambele părți.

$$y+2x=2$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 4x din ambele părți.

$$y-4x=-4$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Scădeți pe y-4x=-4 din y+2x=2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2x+4x=2+4$$

Adunați 2x cu 4x.

$$6x=2+4$$

Adunați 2 cu 4.

$$6x=6$$

Se împart ambele părți la 6.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y-4x=-4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y-4=-4$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$y=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=0,x=1$$