Rezolvați {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Pași folosind substituirea și formula rădăcinilor ecuației de gradul doi

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Adăugați 6 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Rezolvați x-y=\frac{1}{4} pentru x prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Scădeți -y din ambele părți ale ecuației.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Înlocuiți x cu y+\frac{1}{4} în cealaltă ecuație, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Ridicați y+\frac{1}{4} la pătrat.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Înmulțiți 3 cu y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Adunați -y^{2} cu 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1+3\times 1^{2}, b cu 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 și c cu -\frac{93}{16} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 la pătrat.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Adunați \frac{9}{4} cu \frac{93}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -\frac{3}{2} cu \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Împărțiți \frac{-3+\sqrt{195}}{2} la 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{\sqrt{195}}{2} din -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Împărțiți \frac{-3-\sqrt{195}}{2} la 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Există două soluții pentru y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} și \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Înlocuiți y cu \frac{-3+\sqrt{195}}{8} în ecuația x=y+\frac{1}{4}, pentru a găsi soluția corespondentă pentru x care îndeplinește ambele ecuații.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Acum înlocuiți y cu \frac{-3-\sqrt{195}}{8} în ecuația x=y+\frac{1}{4} și rezolvați pentru a găsi soluția corespunzătoare pentru x care rezolvă ambele ecuații.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$