Rezolvați {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+2y=7$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2y+7$$

Înlocuiți x cu -2y+7 în cealaltă ecuație, 3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Înmulțiți 3 cu -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Adunați -6y cu -2y.

$$-8y+21=-3$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$-8y=-24$$

Se împart ambele părți la -8.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=-2y+7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\times 3+7$$

Înmulțiți -2 cu 3.

$$x=-6+7$$

Adunați 7 cu -6.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Pentru a egala x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Simplificați.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Scădeți pe 3x-2y=-3 din 3x+6y=21 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Adunați 3x cu -3x. Termenii 3x și -3x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$6y+2y=21+3$$

Adunați 6y cu 2y.

$$8y=21+3$$

Adunați 21 cu 3.

$$8y=24$$

Se împart ambele părți la 8.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în 3x-2y=-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x-2\times 3=-3$$

Înmulțiți -2 cu 3.

$$3x-6=-3$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$3x=3$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=3$$