Rezolvați {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-y=-5$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+2y=1$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2y+1$$

Înlocuiți x cu -2y+1 în cealaltă ecuație, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Adunați -2y cu -y.

$$-3y+1=-5$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$-3y=-6$$

Se împart ambele părți la -3.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în x=-2y+1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\times 2+1$$

Înmulțiți -2 cu 2.

$$x=-4+1$$

Adunați 1 cu -4.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=2$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-y=-5$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-3,y=2$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți y din ambele părți.

$$x-y=-5$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Scădeți pe x-y=-5 din x+2y=1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2y+y=1+5$$

Adunați 2y cu y.

$$3y=1+5$$

Adunați 1 cu 5.

$$3y=6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în x-y=-5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-2=-5$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=-3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-3,y=2$$