Skip to main content
$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right. $
Rezolvați pentru x, y
Tick mark Image
Grafic

Probleme similare din căutarea web

Partajați

8x+2y=46,7x+3y=47
Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.
8x+2y=46
Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.
8x=-2y+46
Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.
x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)
Se împart ambele părți la 8.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}
Înmulțiți \frac{1}{8} cu -2y+46.
7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47
Înlocuiți x cu \frac{-y+23}{4} în cealaltă ecuație, 7x+3y=47.
-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47
Înmulțiți 7 cu \frac{-y+23}{4}.
\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47
Adunați -\frac{7y}{4} cu 3y.
\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}
Scădeți \frac{161}{4} din ambele părți ale ecuației.
y=\frac{27}{5}
Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.
x=-\frac{1}{4}\times \left(\frac{27}{5}\right)+\frac{23}{4}
Înlocuiți y cu \frac{27}{5} în x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}
Înmulțiți -\frac{1}{4} cu \frac{27}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.
x=\frac{22}{5}
Adunați \frac{23}{4} cu -\frac{27}{20} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Sistemul este rezolvat acum.
8x+2y=46,7x+3y=47
Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.
\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Scrieți ecuațiile în forma matriceală.
inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Extrageți elementele x și y ale matricei.
8x+2y=46,7x+3y=47
Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.
7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47
Pentru a egala 8x și 7x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 7 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 8.
56x+14y=322,56x+24y=376
Simplificați.
56x-56x+14y-24y=322-376
Scădeți pe 56x+24y=376 din 56x+14y=322 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.
14y-24y=322-376
Adunați 56x cu -56x. Termenii 56x și -56x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.
-10y=322-376
Adunați 14y cu -24y.
-10y=-54
Adunați 322 cu -376.
y=\frac{27}{5}
Se împart ambele părți la -10.
7x+3\times \left(\frac{27}{5}\right)=47
Înlocuiți y cu \frac{27}{5} în 7x+3y=47. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
7x+\frac{81}{5}=47
Înmulțiți 3 cu \frac{27}{5}.
7x=\frac{154}{5}
Scădeți \frac{81}{5} din ambele părți ale ecuației.
x=\frac{22}{5}
Se împart ambele părți la 7.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Sistemul este rezolvat acum.