Rezolvați {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-3y=5$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=3y+5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{3y+5}{2} în cealaltă ecuație, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Înmulțiți 3 cu \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Adunați \frac{9y}{2} cu -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} cu -\frac{3}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Pentru a egala 2x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Simplificați.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Scădeți pe 6x-4y=10 din 6x-9y=15 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Adunați 6x cu -6x. Termenii 6x și -6x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-9y+4y=15-10$$

Adunați -9y cu 4y.

$$-5y=15-10$$

Adunați 15 cu -10.

$$-5y=5$$

Se împart ambele părți la -5.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în 3x-2y=5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Înmulțiți -2 cu -1.

$$3x+2=5$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$3x=3$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=-1$$