Rezolvați {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-3y=15$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=3y+15$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{15+3y}{2} în cealaltă ecuație, x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Adunați \frac{3y}{2} cu y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Înlocuiți y cu -\frac{13}{5} în x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu -\frac{13}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} cu -\frac{39}{10} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{18}{5}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Pentru a egala 2x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Scădeți pe 2x+2y=2 din 2x-3y=15 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-3y-2y=15-2$$

Adunați -3y cu -2y.

$$-5y=15-2$$

Adunați 15 cu -2.

$$-5y=13$$

Se împart ambele părți la -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Înlocuiți y cu -\frac{13}{5} în x+y=1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Adunați \frac{13}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{18}{5}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$