Rezolvați {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+y=6$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-y+6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Înlocuiți x cu -\frac{y}{2}+3 în cealaltă ecuație, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Înmulțiți 4 cu -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Adunați -2y cu -y.

$$-3y+12=7$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$-3y=-5$$

Se împart ambele părți la -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Înlocuiți y cu \frac{5}{3} în x=-\frac{1}{2}y+3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu \frac{5}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Adunați 3 cu -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Pentru a egala 2x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Simplificați.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Scădeți pe 8x-2y=14 din 8x+4y=24 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y+2y=24-14$$

Adunați 4y cu 2y.

$$6y=24-14$$

Adunați 24 cu -14.

$$6y=10$$

Se împart ambele părți la 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Înlocuiți y cu \frac{5}{3} în 4x-y=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$