Rezolvați {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+y=3$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-y+3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+3}{2} în cealaltă ecuație, x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Adunați -\frac{y}{2} cu -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{3}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=\frac{1}{3}$$

Înlocuiți y cu \frac{1}{3} în x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu \frac{1}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} cu -\frac{1}{6} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Pentru a egala 2x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Simplificați.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Scădeți pe 2x-2y=2 din 2x+y=3 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+2y=3-2$$

Adunați y cu 2y.

$$3y=3-2$$

Adunați 3 cu -2.

$$3y=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Înlocuiți y cu \frac{1}{3} în x-y=1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$