Rezolvați {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+y=3$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-y+3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+3}{2} în cealaltă ecuație, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Adunați -\frac{y}{2} cu y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$y=7$$

Înlocuiți y cu 7 în x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} cu -\frac{7}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-2,y=7$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-2,y=7$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Scădeți pe x+y=5 din 2x+y=3 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2x-x=3-5$$

Adunați 2x cu -x.

$$x=3-5$$

Adunați 3 cu -5.

$$x=-2$$

Înlocuiți x cu -2 în x+y=5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$-2+y=5$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$y=7$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-2,y=7$$