Rezolvați {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+4y=2060$$

Scădeți 4y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-4y+2060$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Înlocuiți x cu -2y+1030 în cealaltă ecuație, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Înmulțiți 5 cu -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Adunați -10y cu 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Scădeți 5150 din ambele părți ale ecuației.

$$-3y=-3510$$

Se împart ambele părți la -3.

$$y=1170$$

Înlocuiți y cu 1170 în x=-2y+1030. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Înmulțiți -2 cu 1170.

$$x=-2340+1030$$

Adunați 1030 cu -2340.

$$x=-1310$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1310,y=1170$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-1310,y=1170$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Pentru a egala 2x și 5x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Simplificați.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Scădeți pe 10x+14y=3280 din 10x+20y=10300 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Adunați 10x cu -10x. Termenii 10x și -10x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$20y-14y=10300-3280$$

Adunați 20y cu -14y.

$$6y=10300-3280$$

Adunați 10300 cu -3280.

$$6y=7020$$

Se împart ambele părți la 6.

$$y=1170$$

Înlocuiți y cu 1170 în 5x+7y=1640. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Înmulțiți 7 cu 1170.

$$5x+8190=1640$$

Scădeți 8190 din ambele părți ale ecuației.

$$5x=-6550$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=-1310$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1310,y=1170$$