Rezolvați {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru m, n

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru m, prin izolarea lui m pe partea din stânga semnului egal.

$$2m-3n=1$$

Adunați 3n la ambele părți ale ecuației.

$$2m=3n+1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Înlocuiți m cu \frac{3n+1}{2} în cealaltă ecuație, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Înmulțiți \frac{5}{3} cu \frac{3n+1}{2}.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Adunați \frac{5n}{2} cu -2n.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$n=\frac{1}{3}$$

Înlocuiți n cu \frac{1}{3} în m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, m se poate rezolva direct.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu \frac{1}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$m=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele m și n ale matricei.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Pentru a egala 2m și \frac{5m}{3}, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu \frac{5}{3} și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Simplificați.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Scădeți pe \frac{10}{3}m-4n=2 din \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Adunați \frac{10m}{3} cu -\frac{10m}{3}. Termenii \frac{10m}{3} și -\frac{10m}{3} se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Adunați -5n cu 4n.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

Adunați \frac{5}{3} cu -2.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

Se împart ambele părți la -1.

$$n=\frac{1}{3}$$

Înlocuiți n cu \frac{1}{3} în \frac{5}{3}m-2n=1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, m se poate rezolva direct.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

Înmulțiți -2 cu \frac{1}{3}.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$m=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$