Rezolvați {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2ax+by=14$$

Scădeți by din ambele părți ale ecuației.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Se împart ambele părți la 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2a} cu -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Înlocuiți x cu \frac{-by+14}{2a} în cealaltă ecuație, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Înmulțiți -2 cu \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Adunați \frac{by}{a} cu 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Adunați \frac{14}{a} la ambele părți ale ecuației.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Se împart ambele părți la 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Înlocuiți y cu \frac{14-19a}{9a+b} în x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Înmulțiți -\frac{b}{2a} cu \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Adunați \frac{7}{a} cu -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Pentru a egala 2ax și -2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Simplificați.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Scădeți pe \left(-4a\right)x+18ay=-38a din \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Adunați -4ax cu 4ax. Termenii -4ax și 4ax se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Adunați -2by cu -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Adunați -28 cu 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Se împart ambele părți la -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Înlocuiți y cu -\frac{-14+19a}{b+9a} în -2x+9y=-19. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Înmulțiți 9 cu -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Adunați \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} la ambele părți ale ecuației.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Se împart ambele părți la -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Rezolvați pentru x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2ax+by=14$$

Scădeți by din ambele părți ale ecuației.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Se împart ambele părți la 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2a} cu -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Înlocuiți x cu \frac{-by+14}{2a} în cealaltă ecuație, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Înmulțiți -2 cu \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Adunați \frac{by}{a} cu 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Adunați \frac{14}{a} la ambele părți ale ecuației.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Se împart ambele părți la 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Înlocuiți y cu \frac{14-19a}{9a+b} în x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Înmulțiți -\frac{b}{2a} cu \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Adunați \frac{7}{a} cu -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Pentru a egala 2ax și -2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Simplificați.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Scădeți pe \left(-4a\right)x+18ay=-38a din \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Adunați -4ax cu 4ax. Termenii -4ax și 4ax se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Adunați -2by cu -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Adunați -28 cu 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Se împart ambele părți la -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Înlocuiți y cu -\frac{-14+19a}{b+9a} în -2x+9y=-19. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Înmulțiți 9 cu -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Adunați \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} la ambele părți ale ecuației.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Se împart ambele părți la -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$