Direct la conținutul principal
$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right. $
Rezolvați pentru x, y (complex solution)
Tick mark Image
Rezolvați pentru x, y
Tick mark Image
Grafic

Probleme similare din căutarea web

Partajați

2ax+by=14,-2x+9y=-19
Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.
2ax+by=14
Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.
2ax=\left(-b\right)y+14
Scădeți by din ambele părți ale ecuației.
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
Se împart ambele părți la 2a.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
Înmulțiți \frac{1}{2a} cu -by+14.
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
Înlocuiți x cu \frac{-by+14}{2a} în cealaltă ecuație, -2x+9y=-19.
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
Înmulțiți -2 cu \frac{-by+14}{2a}.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
Adunați \frac{by}{a} cu 9y.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
Adunați \frac{14}{a} la ambele părți ale ecuației.
y=\frac{14-19a}{9a+b}
Se împart ambele părți la 9+\frac{b}{a}.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{14-19a}{9a+b}\right)+\frac{7}{a}
Înlocuiți y cu \frac{14-19a}{9a+b} în x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
Înmulțiți -\frac{b}{2a} cu \frac{14-19a}{9a+b}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Adunați \frac{7}{a} cu -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Sistemul este rezolvat acum.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Scrieți ecuațiile în forma matriceală.
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Extrageți elementele x și y ale matricei.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
Pentru a egala 2ax și -2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2a.
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
Simplificați.
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Scădeți pe \left(-4a\right)x+18ay=-38a din \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Adunați -4ax cu 4ax. Termenii -4ax și 4ax se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
Adunați -2by cu -18ay.
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
Adunați -28 cu 38a.
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Se împart ambele părți la -2b-18a.
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
Înlocuiți y cu -\frac{-14+19a}{b+9a} în -2x+9y=-19. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
Înmulțiți 9 cu -\frac{-14+19a}{b+9a}.
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
Adunați \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} la ambele părți ale ecuației.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Se împart ambele părți la -2.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Sistemul este rezolvat acum.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.
2ax+by=14
Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.
2ax=\left(-b\right)y+14
Scădeți by din ambele părți ale ecuației.
x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)
Se împart ambele părți la 2a.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}
Înmulțiți \frac{1}{2a} cu -by+14.
-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19
Înlocuiți x cu \frac{-by+14}{2a} în cealaltă ecuație, -2x+9y=-19.
\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19
Înmulțiți -2 cu \frac{-by+14}{2a}.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19
Adunați \frac{by}{a} cu 9y.
\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}
Adunați \frac{14}{a} la ambele părți ale ecuației.
y=\frac{14-19a}{9a+b}
Se împart ambele părți la 9+\frac{b}{a}.
x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \left(\frac{14-19a}{9a+b}\right)+\frac{7}{a}
Înlocuiți y cu \frac{14-19a}{9a+b} în x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}
Înmulțiți -\frac{b}{2a} cu \frac{14-19a}{9a+b}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Adunați \frac{7}{a} cu -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Sistemul este rezolvat acum.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.
\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Scrieți ecuațiile în forma matriceală.
inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)
Înmulțiți matricele.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)
Faceți calculele.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}
Extrageți elementele x și y ale matricei.
2ax+by=14,-2x+9y=-19
Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.
-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)
Pentru a egala 2ax și -2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2a.
\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a
Simplificați.
\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Scădeți pe \left(-4a\right)x+18ay=-38a din \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.
\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a
Adunați -4ax cu 4ax. Termenii -4ax și 4ax se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.
\left(-18a-2b\right)y=-28+38a
Adunați -2by cu -18ay.
\left(-18a-2b\right)y=38a-28
Adunați -28 cu 38a.
y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Se împart ambele părți la -2b-18a.
-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19
Înlocuiți y cu -\frac{-14+19a}{b+9a} în -2x+9y=-19. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.
-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19
Înmulțiți 9 cu -\frac{-14+19a}{b+9a}.
-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}
Adunați \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} la ambele părți ale ecuației.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}
Se împart ambele părți la -2.
x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}
Sistemul este rezolvat acum.