Rezolvați {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$4x+5=5y$$

Scădeți 5y din ambele părți.

$$4x+5-5y=0$$

Scădeți 5 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x-5y=-5$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x-5y=-5$$

Adunați 5y la ambele părți ale ecuației.

$$4x=5y-5$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{-5+5y}{4} în cealaltă ecuație, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Înmulțiți 3 cu \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Adunați \frac{15y}{4} cu y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Adunați \frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{19}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Adunați -\frac{5}{4} cu \frac{5}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=0,y=1$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$4x+5=5y$$

Scădeți 5y din ambele părți.

$$4x+5-5y=0$$

Scădeți 5 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x-5y=-5$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=0,y=1$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Adunați 4 și 1 pentru a obține 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$4x+5=5y$$

Scădeți 5y din ambele părți.

$$4x+5-5y=0$$

Scădeți 5 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x-5y=-5$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Pentru a egala 4x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Simplificați.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Scădeți pe 12x+4y=4 din 12x-15y=-15 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Adunați 12x cu -12x. Termenii 12x și -12x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-15y-4y=-15-4$$

Adunați -15y cu -4y.

$$-19y=-15-4$$

Adunați -15 cu -4.

$$-19y=-19$$

Se împart ambele părți la -19.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în 3x+y=1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+1=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3x=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=0,y=1$$