Rezolvați {c}{x+y=5}{-3x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { - 3 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=5$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+5$$

Înlocuiți x cu -y+5 în cealaltă ecuație, -3x+y=-3.

$$-3\left(-y+5\right)+y=-3$$

Înmulțiți -3 cu -y+5.

$$3y-15+y=-3$$

Adunați 3y cu y.

$$4y-15=-3$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$4y=12$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=-y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-3+5$$

Adunați 5 cu -3.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Scădeți pe -3x+y=-3 din x+y=5 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x+3x+y-y=5+3$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x+3x=5+3$$

Adunați x cu 3x.

$$4x=5+3$$

Adunați 5 cu 3.

$$4x=8$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în -3x+y=-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$-3\times 2+y=-3$$

Înmulțiți -3 cu 2.

$$-6+y=-3$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$y=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=3$$