Rezolvați {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-y=4$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=y+4$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Înlocuiți x cu \frac{y}{2}+2 în cealaltă ecuație, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Înmulțiți 4 cu \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Adunați 2y cu 3y.

$$5y+8=3$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$5y=-5$$

Se împart ambele părți la 5.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=\frac{1}{2}y+2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Adunați 2 cu -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Pentru a egala 2x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Simplificați.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Scădeți pe 8x+6y=6 din 8x-4y=16 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-4y-6y=16-6$$

Adunați -4y cu -6y.

$$-10y=16-6$$

Adunați 16 cu -6.

$$-10y=10$$

Se împart ambele părți la -10.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în 4x+3y=3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Înmulțiți 3 cu -1.

$$4x-3=3$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$4x=6$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$