Rezolvați ∫ (from -2 to 3) of x((x^2)-(x+6)) wrt x

$$\int_{ -2 }^{ 3 } x(( { x }^{ 2 } )-(x+6)) d x$$

Evaluați

$$-\frac{125}{12}\approx -10,416666667$$

Pașii soluției

Pentru a găsi opusul lui x+6, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\int _{-2}^{3}x\left(x^{2}-x-6\right)\mathrm{d}x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x^{2}-x-6.

$$\int _{-2}^{3}x^{3}-x^{2}-6x\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{3}-x^{2}-6x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int -6x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-6\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -6 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{3^{4}}{4}-\frac{3^{3}}{3}-3\times 3^{2}-\left(\frac{\left(-2\right)^{4}}{4}-\frac{\left(-2\right)^{3}}{3}-3\left(-2\right)^{2}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{125}{12}$$