Rezolvați ∫ (from -1 to 2) of y^2-2-y wrt y

$$\int_{ -1 }^{ 2 } { y }^{ 2 } -2-y d y$$

Evaluați

$$-\frac{9}{2}=-4,5$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int y^{2}-2-y\mathrm{d}y$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -2\mathrm{d}y+\int -y\mathrm{d}y$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -2\mathrm{d}y-\int y\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y^{2}\mathrm{d}y cu \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{3}}{3}+\int -2\mathrm{d}y-\int y\mathrm{d}y$$

Găsiți integral -2 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y^{3}}{3}-2y-\int y\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y\mathrm{d}y cu \frac{y^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{3}}{3}-2y-\frac{y^{2}}{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{2^{3}}{3}-2\times 2-\frac{2^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-2\left(-1\right)-\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{9}{2}$$