Rezolvați ∫ left(1+xright)^2 wrt x

$$\int{ { \left(1+x \right) }^{ 2 } }d x$$

Evaluați

$$\frac{\left(x+1\right)^{3}}{3}+С$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$\int 1+2x+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int 1\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 1 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 2 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$x+x^{2}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\left(x+1\right)^{2}$$