Rezolvați ∫ x(2tx^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 t x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Evaluați

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

Pașii soluției

Extindeți \left(2tx^{2}\right)^{2}.

$$\int x\times 2^{2}t^{2}\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$\int x\times 2^{2}t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\int x\times 4t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

Pentru a înmulți puterile cu aceeași baze, adunați exponenții lor. Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$\int x^{5}\times 4t^{2}\mathrm{d}x$$

Excludeți constanta utilizând \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$4t^{2}\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{5}\mathrm{d}x cu \frac{x^{6}}{6}.

$$4t^{2}\times \frac{x^{6}}{6}$$

Simplificați.

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$4t^{2}x^{5}$$