Rezolvați ∫ (from t to t + 1) of (-x^2+2x) wrt x

$$\int _ { t } ^ { t + 1 } ( - x ^ { 2 } + 2 x ) d x$$

Evaluați

$$\frac{2}{3}+t-t^{2}$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int -x^{2}+2x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 2 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$-\frac{1}{3}\left(t+1\right)^{3}+\left(t+1\right)^{2}-\left(-\frac{t^{3}}{3}+t^{2}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{2}{3}+t-t^{2}$$

Calculați derivata în funcție de t

$$1-2t$$