Rezolvați ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Evaluați

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \sqrt{x}+1 cu \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Calculați \sqrt{x} la puterea 2 și obțineți x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Rescrieți \sqrt{x} ca x^{\frac{1}{2}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplificați.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{271}{6}$$