Rezolvați ∫ (from 1 to 5) of (-x^2+6x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( - x ^ { 2 } + 6 x - 5 ) d x$$

Evaluați

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int -x^{2}+6x-5\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 6 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x$$

Găsiți integral -5 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}-5x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$-\frac{5^{3}}{3}+3\times 5^{2}-5\times 5-\left(-\frac{1^{3}}{3}+3\times 1^{2}-5\right)$$

Simplificați.

$$\frac{32}{3}$$