Rezolvați ∫ (from 1 to 4) of (x^2+1/x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{87}{4}=21,75$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x cu -\frac{1}{x}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{4^{3}}{3}-4^{-1}-\left(\frac{1^{3}}{3}-1^{-1}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{87}{4}$$