Rezolvați ∫ (from 1 to 3) of (6x^2-2x+2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 6 x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) d x$$

Evaluați

$$48$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 6x^{2}-2x+2\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 6 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -2 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 2 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{3}-x^{2}+2x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$2\times 3^{3}-3^{2}+2\times 3-\left(2\times 1^{3}-1^{2}+2\times 1\right)$$

Simplificați.

$$48$$