Rezolvați ∫ (from 1 to 2) of y-1/y wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } y - \frac { 1 } { y } d y$$

Evaluați

$$\frac{3}{2}-\ln(2)\approx 0,806852819$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int y-\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int y\mathrm{d}y-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y\mathrm{d}y cu \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Utilizați \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln(|y|) din tabelul integrale comune pentru a obține rezultatul.

$$\frac{y^{2}}{2}-\ln(|y|)$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{2^{2}}{2}-\ln(|2|)-\left(\frac{1^{2}}{2}-\ln(|1|)\right)$$

Simplificați.

$$\frac{3}{2}-\ln(2)$$