Rezolvați ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Evaluați

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Rescrieți \frac{1}{\sqrt{x}} ca x^{-\frac{1}{2}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Simplificați și convertiți de la forma exponențială la forma cu radicali.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Simplificați.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$