Rezolvați ∫ (from 0 to 50) of (x^2+3x+x^3) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 50 } ( x ^ { 2 } + 3 x + x ^ { 3 } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{4823750}{3}\approx 1607916,666666667$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{2}+3x+x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 3 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{50^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 50^{2}+\frac{50^{4}}{4}-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{0^{4}}{4}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{4823750}{3}$$