Rezolvați ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Evaluați

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Calculați \sqrt{x} la puterea 2 și obțineți x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Pentru a găsi opusul lui 16-8\sqrt{x}+x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Scădeți 16 din 6 pentru a obține -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Găsiți integral -10 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Rescrieți \sqrt{x} ca x^{\frac{1}{2}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplificați. Înmulțiți 8 cu \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Simplificați.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{16}{3}$$