Rezolvați ∫ (from 0 to 3) of t^2-14t+49dt

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } t ^ { 2 } - 14 t + 49 d t$$

Evaluați

$$93$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int t^{2}-14t+49\mathrm{d}t$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -14t\mathrm{d}t+\int 49\mathrm{d}t$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-14\int t\mathrm{d}t+\int 49\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t^{2}\mathrm{d}t cu \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-14\int t\mathrm{d}t+\int 49\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t\mathrm{d}t cu \frac{t^{2}}{2}. Înmulțiți -14 cu \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-7t^{2}+\int 49\mathrm{d}t$$

Găsiți integral 49 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}-7t^{2}+49t$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{3^{3}}{3}-7\times 3^{2}+49\times 3-\left(\frac{0^{3}}{3}-7\times 0^{2}+49\times 0\right)$$

Simplificați.

$$93$$