Rezolvați ∫ (from 0 to 3) of (5x-3)^2 wrt x=

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( 5 x - 3 ) ^ { 2 } d x =$$

Evaluați

$$117$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(5x-3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{3}25x^{2}-30x+9\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 25x^{2}-30x+9\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 25x^{2}\mathrm{d}x+\int -30x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$25\int x^{2}\mathrm{d}x-30\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 25 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{25x^{3}}{3}-30\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -30 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{25x^{3}}{3}-15x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 9 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{25x^{3}}{3}-15x^{2}+9x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{25}{3}\times 3^{3}-15\times 3^{2}+9\times 3-\left(\frac{25}{3}\times 0^{3}-15\times 0^{2}+9\times 0\right)$$

Simplificați.

$$117$$