Rezolvați ∫ (from 0 to 2) of x(3+2x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( 3 + 2 x ) d x$$

Evaluați

$$\frac{34}{3}\approx 11,333333333$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 3+2x.

$$\int _{0}^{2}3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 3x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$3\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 3 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 2 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{3}{2}\times 2^{2}+\frac{2}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{2}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{34}{3}$$