Rezolvați ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Evaluați

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Deoarece \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int r\mathrm{d}r cu \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Deoarece \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int r^{2}\mathrm{d}r cu \frac{r^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Simplificați.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Calculați derivata în funcție de x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$