Rezolvați ∫ (from 0 to 1) of 5u^5+3u^2+udu

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 5 u ^ { 5 } + 3 u ^ { 2 } + u d u$$

Evaluați

$$\frac{7}{3}\approx 2,333333333$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 5u^{5}+3u^{2}+u\mathrm{d}u$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 5u^{5}\mathrm{d}u+\int 3u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$5\int u^{5}\mathrm{d}u+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Deoarece \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int u^{5}\mathrm{d}u cu \frac{u^{6}}{6}. Înmulțiți 5 cu \frac{u^{6}}{6}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Deoarece \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int u^{2}\mathrm{d}u cu \frac{u^{3}}{3}. Înmulțiți 3 cu \frac{u^{3}}{3}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\int u\mathrm{d}u$$

Deoarece \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int u\mathrm{d}u cu \frac{u^{2}}{2}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\frac{u^{2}}{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{5}{6}\times 1^{6}+1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{5}{6}\times 0^{6}+0^{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{7}{3}$$