Rezolvați ∫ (from 0 to 1) of (x^18+18^x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 18 } + 18 ^ { x } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{17}{\ln(18)}+\frac{1}{19}\approx 5,934227935$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{18}+18^{x}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{18}\mathrm{d}x+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{18}\mathrm{d}x cu \frac{x^{19}}{19}.

$$\frac{x^{19}}{19}+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

Utilizați \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} din tabelul integrale comune pentru a obține rezultatul.

$$\frac{x^{19}}{19}+\frac{18^{x}}{\ln(18)}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{1^{19}}{19}+18^{1}\ln(18)^{-1}-\left(\frac{0^{19}}{19}+18^{0}\ln(18)^{-1}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{1}{19}+\frac{17}{\ln(18)}$$