Rezolvați ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Evaluați

$$1$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Găsiți integral 1 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Deoarece \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int v^{3}\mathrm{d}v cu \frac{v^{4}}{4}. Înmulțiți -8 cu \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Deoarece \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int v^{7}\mathrm{d}v cu \frac{v^{8}}{8}. Înmulțiți 16 cu \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Simplificați.

$$1$$