Rezolvați ∫ (from 0 to 1) of 1/3-1/3y^3 wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { 3 } d y$$

Evaluați

$$\frac{1}{4}=0,25$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int \frac{1-y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y+\int -\frac{y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y-\frac{\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Găsiți integral \frac{1}{3} utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y-\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y^{3}\mathrm{d}y cu \frac{y^{4}}{4}. Înmulțiți -\frac{1}{3} cu \frac{y^{4}}{4}.

$$\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{12}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{1}{3}\times 1-\frac{1^{4}}{12}-\left(\frac{1}{3}\times 0-\frac{0^{4}}{12}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{1}{4}$$