Rezolvați ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}(2y-3y^2-y^2) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 y - 3 y ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) d y$$

Evaluați

$$\frac{1}{12}\approx 0,083333333$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 2y-3y^{2}-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 2y\mathrm{d}y+\int -3y^{2}\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$2\int y\mathrm{d}y-3\int y^{2}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y\mathrm{d}y cu \frac{y^{2}}{2}. Înmulțiți 2 cu \frac{y^{2}}{2}.

$$y^{2}-3\int y^{2}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y^{2}\mathrm{d}y cu \frac{y^{3}}{3}. Înmulțiți -3 cu \frac{y^{3}}{3}.

$$y^{2}-y^{3}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y^{2}\mathrm{d}y cu \frac{y^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{y^{3}}{3}.

$$y^{2}-y^{3}-\frac{y^{3}}{3}$$

Simplificați.

$$y^{2}-\frac{4y^{3}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{4}{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(0^{2}-\frac{4}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{1}{12}$$