Rezolvați ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluați

$$\frac{1561}{3}\approx 520,333333333$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-3\right)^{2}.

$$\int _{-2}^{5}16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -24x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 16 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -24 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 9 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+9x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{16}{3}\times 5^{3}-12\times 5^{2}+9\times 5-\left(\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}-12\left(-2\right)^{2}+9\left(-2\right)\right)$$

Simplificați.

$$\frac{1561}{3}$$