Rezolvați ∫ (from - 2 to 3) of (-x^2+x+6) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 3 } ( - x ^ { 2 } + x + 6 ) d x$$

Evaluați

$$\frac{125}{6}\approx 20,833333333$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int -x^{2}+x+6\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int 6\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 6 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+6x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$-\frac{3^{3}}{3}+\frac{3^{2}}{2}+6\times 3-\left(-\frac{\left(-2\right)^{3}}{3}+\frac{\left(-2\right)^{2}}{2}+6\left(-2\right)\right)$$

Simplificați.

$$\frac{125}{6}$$