Rezolvați ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Evaluați

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1-y cu y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y\mathrm{d}y cu \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Deoarece \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int y^{2}\mathrm{d}y cu \frac{y^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{2}{3}$$