Rezolvați ∫ (from - 1 to 0) of (x^3-2x^2-13x)

$$\int _ { - 1 } ^ { 0 } ( x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 13 x )$$

Evaluați

$$\frac{67}{12}\approx 5,583333333$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{3}-2x^{2}-13x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int -13x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-13\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-2\int x^{2}\mathrm{d}x-13\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -2 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}-13\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -13 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{13x^{2}}{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{0^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{13}{2}\times 0^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}-\frac{13}{2}\left(-1\right)^{2}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{67}{12}$$