Rezolvați ∫ (5x+2)^3 wrt x=

$$\int ( 5 x + 2 ) ^ { 3 } d x =$$

Evaluați

$$\frac{\left(5x+2\right)^{4}}{20}+С$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} pentru a extinde \left(5x+2\right)^{3}.

$$\int 125x^{3}+150x^{2}+60x+8\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 125x^{3}\mathrm{d}x+\int 150x^{2}\mathrm{d}x+\int 60x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$125\int x^{3}\mathrm{d}x+150\int x^{2}\mathrm{d}x+60\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}. Înmulțiți 125 cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{125x^{4}}{4}+150\int x^{2}\mathrm{d}x+60\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 150 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{4}}{4}+50x^{3}+60\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 60 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{125x^{4}}{4}+50x^{3}+30x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 8 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{4}}{4}+50x^{3}+30x^{2}+8x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{125x^{4}}{4}+50x^{3}+30x^{2}+8x+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\left(5x+2\right)^{3}$$