Rezolvați ∫ (4x-7)^2 wrt x

$$\int ( 4 x - 7 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluați

$$\frac{\left(4x-7\right)^{3}}{12}+С$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-7\right)^{2}.

$$\int 16x^{2}-56x+49\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -56x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 16 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -56 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+\int 49\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 49 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\left(4x-7\right)^{2}$$