Rezolvați ∫ (3x+x^3-sqrt{x}) wrt x

$$\int ( 3 x + x ^ { 3 } - \sqrt { x } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}-\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

Pașii soluției

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 3x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$3\int x\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x-\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 3 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\int x^{3}\mathrm{d}x-\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}-\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Rescrieți \sqrt{x} ca x^{\frac{1}{2}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplificați. Înmulțiți -1 cu \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$x^{3}+3x-\sqrt{x}$$