Rezolvați ∫ (-x^2-4x-2)(-3x-7) wrt x

$$\int ( - x ^ { 2 } - 4 x - 2 ) ( - 3 x - 7 ) d x$$

Evaluați

$$\frac{3x^{4}}{4}+\frac{19x^{3}}{3}+17x^{2}+14x+С$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{2}-4x-2 cu -3x-7 și a combina termenii similari.

$$\int -3\left(-x^{2}\right)x-7\left(-x^{2}\right)+12x^{2}+34x+14\mathrm{d}x$$

Înmulțiți -3 cu -1 pentru a obține 3.

$$\int 3x^{2}x-7\left(-x^{2}\right)+12x^{2}+34x+14\mathrm{d}x$$

Pentru a înmulți puterile cu aceeași baze, adunați exponenții lor. Adunați 2 și 1 pentru a obține 3.

$$\int 3x^{3}-7\left(-x^{2}\right)+12x^{2}+34x+14\mathrm{d}x$$

Înmulțiți -7 cu -1 pentru a obține 7.

$$\int 3x^{3}+7x^{2}+12x^{2}+34x+14\mathrm{d}x$$

Combinați 7x^{2} cu 12x^{2} pentru a obține 19x^{2}.

$$\int 3x^{3}+19x^{2}+34x+14\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int 19x^{2}\mathrm{d}x+\int 34x\mathrm{d}x+\int 14\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x+19\int x^{2}\mathrm{d}x+34\int x\mathrm{d}x+\int 14\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}. Înmulțiți 3 cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{4}}{4}+19\int x^{2}\mathrm{d}x+34\int x\mathrm{d}x+\int 14\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 19 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{4}}{4}+\frac{19x^{3}}{3}+34\int x\mathrm{d}x+\int 14\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 34 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{4}}{4}+\frac{19x^{3}}{3}+17x^{2}+\int 14\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 14 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{3x^{4}}{4}+\frac{19x^{3}}{3}+17x^{2}+14x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{3x^{4}}{4}+\frac{19x^{3}}{3}+17x^{2}+14x+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\left(3x+7\right)\left(x^{2}+4x+2\right)$$