Rezolvați ∫ (-2x+1)^2

$$\int ( - 2 x + 1 ) ^ { 2 }$$

Evaluați

$$-\frac{\left(1-2x\right)^{3}}{6}+С$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-2x+1\right)^{2}.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 4 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -4 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 1 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\left(1-2x\right)^{2}$$