Rezolvați ∫ (sqrt{x}+sqrt[3]{x}) wrt x

$$\int ( \sqrt { x } + \sqrt[ 3 ] { x } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+С$$

Pașii soluției

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x$$

Rescrieți \sqrt{x} ca x^{\frac{1}{2}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplificați.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x$$

Rescrieți \sqrt[3]{x} ca x^{\frac{1}{3}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}. Simplificați.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$$