Rezolvați ∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

Evaluați

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}.

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

Reduceți prin eliminare x^{2}+x+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Din moment ce \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Din moment ce \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Găsiți integrala 1 utilizând tabelul cu regula integralelor comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Simplificați.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Dacă F\left(x\right) este o antiderivată a f\left(x\right), atunci setul de toate antiderivații de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați Constanta C\in \mathrm{R} de integrare la rezultat.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$x^{2}-x+1$$